Universität des Saarlandes
FR Mathematik
Arbeitsgruppe Prof. S. Rjasanow

Institut für angewandte Mathematik

Numerik partieller Differentialgleichungen

Englischer Titel: Numerics of Partial Differential Equations

Vorlesung

Termine

Prüfung: Donnerstag, 24. September 2020, Seminarraum 3.23.1 Gebäude E1 1

Vorlesung: Dienstag, Donnerstag 10-12 Uhr, online über Microsoft Teams.

Übung: Montag, 10-12 Uhr, online über Microsoft Teams.

Übungsblätter

Die Aufgaben dürfen in Gruppen bis drei Personen bearbeitet werden.

Zusatzmaterial: Blatt 4

Inhalt und Zielsetzung

Partielle Differentialgleichungen erlauben uns, wie kaum ein anderes mathematisches Werkzeug, die Welt um uns herum zu verstehen. So vielfältig Natur und Technik sind, so sind es auch die Disziplinen der Mathematik, die sich unter anderem mit der Lösbarkeit (Theorie) und der Approximierbarkeit (Numerik) der Gleichungen beschäftigen. In dieser Vorlesung fokussieren wir uns auf die Numerik, ohne allerdings die Theorie aus den Augen zu verlieren.

CREATOR: Netgen

Ausgangspunkt unserer Betrachtung ist das Dirichletsche Prinzip, welches die Äquivalenz der Poissongleichung zu einem Minimierungsproblem postuliert, $$ \left\{ \begin{aligned} - \partial_x^2 u - \partial_y^2 u &= f && \text{in } \Omega \\ u &= 0 && \text{auf } \partial \Omega \end{aligned} \right. \iff u = \operatorname*{argmin}\limits_{v \in H} \int\limits_\Omega \Big( (\partial_x v)^2 + (\partial_y v)^2 - f v \Big) \, \text dx \, \text dy. $$ Aus theoretischer Sicht interessiert uns, unter welchen Vorrausetungen obige Äquivalenz gilt. Wie muss $H$ gewählt werden? Welche Rolle spielt die Gestalt von $\Omega$? Aus welchem Funktionenraum stammt $f$? Im angewandten Teil der Vorlesung beschäftigen wir uns mit möglichen Approximationen an die Lösung. Wählt man dabei die linke Seite als Ausgangspunkt, so erhält man Finite-Differenzen-Verfahren. Diskretisieren wir hingegen die rechte Seite, so ergeben sich Finite-Element-Methoden. Zum Ende der Vorlesung besprechen wir Randelementmethoden, die auf einer weiteren, äquivalenten, Formulierung basieren.

Zielgruppe und Vorkenntnisse

  • Die Veranstaltung richtet sich an Studierende der Mathematik, die sich für Numerik im Bereich der Differentialgleichungen interessieren.
  • Die Veranstaltung richtet sich außerdem an Studierende der Physik und Informatik mit entsprechenden Vorkenntnissen.

Vorkenntnisse aus „Linearer Algebra I+II“, „Analysis I-III“ und Einführung in die Numerik sind erforderlich. Spezielles Wissen zur Funktionalanalysis ist zwar hilfreich, wird aber nicht erwartet. Alle benötigten Begriffe werden in der Veranstaltung eingeführt.

Anmeldung

Bitte schicken Sie eine E-Mail mit Name und Matrikelnummer an Torsten Keßler, M.Sc. Sie werden dann über Microsoft Teams zur Veranstaltung eingeladen. Zum Login nutzen Sie bitte als Nutzernamen <UdS-Kennung>@uni-saarland. Das Passwort ist das Ihrer Kennung. Die Anmeldung ist unverbindlich und unabhängig von einer Anmeldung im LSF/HISPOS. Die erhobenen Daten dienen nur zur Organisation des Vorlesungsbetriebs und werden nicht an Dritte weitergegeben.

Scheinkriterien

Bestehen einer abschließenden Prüfung. Zur Zulassung müssen insgesamt mehr als 50% der Punkte auf den wöchentlichen Übungszetteln erreicht werden.

Literatur

  • O. Steinbach: Numerische Näherungsverfahren für elliptische Randwertprobleme : finite Elemente und Randelemente, Teubner, 2003
  • G. Strang, G. Fix: An Analysis of the Finite Element Method, Wellesley-Cambridge Press, 2008
  • D. Braess: Finite Elemente - Theorie, schnelle Löser und Anwendungen in der Elastizitätstheorie, Springer, 1997
  • C. Großmann und H.-G. Roos: Numerische Behandlung partieller Differentialgleichungen, Teubner, 2005

Kontakt

lehre/vorlesung/partdglss20.txt · Zuletzt geändert: 2020/08/31 10:31 von agrja
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