Finanzmathematik

Optionspreisbewertung

Mathematisches Modell

Eine europäische Call-Option (Put-Option) ist ein Kaufrecht (Verkaufsrecht) auf einen Basiswert (z.B. eine Aktie) zu einem zukünftigen Zeitpunkt T mit festem Ausübungspreis K. Bei amerikanischen Optionen ist die Ausübung jederzeit bis zum Verfallstag T möglich. Um den Wert Vt=V(St,K,t,T) einer Option zum Zeitpunkt t bestimmen zu können, benötigt man eine Modellierung des Aktienkurses (St)t≥0:

Modellierung eines Aktienkurses

 

Black-Scholes-Gleichung und Monte-Carlo-Simulation

Man erhält für den Optionswert V die sog. Black-Scholes-Gleichung:

Black-Scholes-Gleichung

 

Monte-Carlo-SimulationDabei ist r der risikolose Marktzinssatz. Problematisch ist die Unkenntnis der Volatilität σ. Außerdem ist die partielle Differentialgleichng nur für wenige Optionen analytisch lösbar. Daher führt man mit einer geschätzten Volatilität eine Monte-Carlo-Simulation durch. Man simuliert verschiedene Aktienpfade und schätzt den heutigen Optionswert durch den diskontierten, empirischen Erwartungswert.

 

Optimierung zur Volatilitätsschätzung

Wir betrachten europäische Call-Optionen. Als Daten stehen Marktwerte V(K,T) verschiedener Optionen auf denselben Basiswert zu unterschiedlichen Ausübungspreisen K und Verfallstagen T zur Verfügung. Diese genügen näherungsweise der sog. Dupire-Differentialgleichung. Die Identifikation von σ aus den Daten über die sog. Dupire-Gleichung ist ein inverses Problem. Durch a-priori Informationen und Regularisierung mittels eines Funktionals Ω erhält man ein Optimierungsproblem zur Volatilitätsschätzung.

Röntgentomographie

Original des 3D Shepp-Phantoms Die Röntgentomographie ist ein bildgebendes Verfahren, das heute routinemäßig im Bereich der Medizin (»Röhre«) und des zerstörungsfreien Prüfens eingesetzt wird. Forschungsbereiche in diesem Gebiet liegen zum einen in der Geschwindigkeit der Messungen (Patienten werden im Verlauf einer zu langen Messung unruhig) und natürlich in der Geschwindigkeit der Rekonstruktionen. Mathematisch gesehen ist das Problem »schlecht gestellt«, so dass eine Dämpfung der Datenfehler notwendig ist. Verschiedene Abtastkurven, Detektorauflösungen und Testobjekte stellen wechselnde und oft gegensätzliche Ansprüche an die Algorithmen.

Das mathematische Modell der Röntgentomographie in 3D (d.h. Tomographie mit Röntgenstrahlen) ist die »Röntgentransformation«:

Roentgentransformation

Die am Institut verwendeten Algorithmen beruhen überwiegend auf dem von Prof. Dr. Alfred K. Louis entwickelten Verfahren der »Approximativen Inversen«. Die Grundidee hinter dem Verfahren ist die Annahme, dass eine mathematisch exakte Umkehrung der Transformation schon allein aufgrund unvermeidlicher Messfehler nicht möglich ist. Daher wird bereits bei der Konzeption des Algorithmus eine »Ungenauigkeit« in Kauf genommen; diese Ungenauigkeit dämpft dann aber die Messfehler so weit weg, dass das rekonstruierte Bild für den Betrachter ein akzeptables Resultat liefert.

Streutomographie

Bei einer Messung mittels Streutomographie wird ein Objekt mit einer Welle bestrahlt und das gestreute Feld wird im äußeren Bereich des Objekts gemessen. Das Verfahren ist auf thermische (Wärme), akustische (Schall bzw. unhörbarer Ultraschall) und elektromagnetische Wellen entsprechend modellierbar. In Kooperation mit externen Partnern werden effiziente Algorithmen zur Rückstreuung entwickelt und entsprechend angewandt (Humanitäres Minensuchen, Infrarot-Radiometrie).

Phasenkonstrasttomographie

Die bereits erwähnte Röntgentomographie basiert auf dem Prinzip der Absorption, d.h. man gewinnt die Information über das Objekt durch die vom Objekt absorbierte »Strahlung«. Bei vielen Objekten (Knochen, Metall) ist dieses Verfahren die Methode der Wahl. Bei anderen Materialien (Schäumen) oder bei der Detektion von kleinen Löchern in Metallen reicht Absorption alleine nicht aus. Im Bereich der Phasenkontrasttomographie wird daher neben der Absorption auch die Phasenmodulation als Informationsquelle über das Objekt genutzt.

Bei einer solchen phasensensitiven Messung können daher auch Materialien untersucht werden, die kaum Strahlung absorbieren. Auch kann die Energie der einfallenden Strahlung in solche Bereiche verschoben werden, in denen die Probe nur noch wenig Strahlung absorbiert. Dies beugt einer Schädigung der Probe vor. Da beim Übergang zweier Materialkomponenten fast immer ein Phasensprung vorliegt, entsteht ein viel besserer Kontrast.

Die untersuchten Messmethoden verwenden zur Modellierung des gestreuten Feldes das sog. »Fresnel'sche Beugungsintegral.«

Fresnel'sches Beugungsintegral

Rekonstruktion eines Polystyren-Schaums Im Bild links sieht man die Rekonstruktion eines Polystyrenschaums. Im linken Teil erfolgte eine Rekonstruktion der Phaseninformation, im rechten Teil zum Vergleich die Absorption. Die Rekonstruktion der Phaseninformation liefert einen deutlich besseren Kontrast.

Rekonstruktion einer Polymerfaser Im Bild rechts sieht man die Rekonstruktion einer Polymerfaser. Im linken Teil erfolgte eine Rekonstruktion der Phaseninformation, im rechten Teil zum Vergleich die Absorption. Hier sind die Konturen bei der Absorption besser erkennbar, dafür liefert die Phaseninformation einen besseren Kontrast und dadurch eine bessere räumliche Darstellung des Objekts.

Die Messdaten der Rekonstruktionen wurden vom ESRF (European Synchrotron Radiation Facility) in Grenoble zur Verfügung gestellt.

Vektortomographie

Ziel der dreidimensionalen Vektortomographie ist die Rekonstruktion und Visualisierung von Vektorfeldern, bespielsweise des Geschwindigkeitsfeldes einer sich bewegenden Flüssigkeit. Die Vektortomographie findet Anwendung in der Photoelastizität, in der Ozeanographie, im zerstörungsfreien Prüfen und bei der medizinischen Bildgebung, wo durch die Rekonstruktion und Visualisierung des Blutflusses Tumore lokalisiert werden können, da um sie der Blutfluß wesentlich stärker und unregelmäßiger ist als in normalem Gewebe.

Die für die Vektortomographie notwendigen Integraldaten – Linienintegrale über Projektionen des Vektorfeldes – können mit Hilfe einer auf einer Kreisbahn um das Objekt rotierenden Ultraschallquelle gemessen werden, wenn man annimmt, dass der Doppler-Shift der Frequenz ungefähr proportional zur Geschwindigkeit des den Shift verursachenden Teilchens – hier eines Blutkörperchens – ist.

Die Verwendung des absolut harmlosen Ultraschalls hat einen weiteren Vorteil gegenüber den bisher gebräuchlichen Verfahren, da die beispielsweise in der Mammographie verwendeten Röntgenstrahlen krebsfördernd und damit für die Gesundheit des Patienten schädlich sind.

Das mathematische Modell ähnelt dem der 3D-Röntgentomographie

Math. Modell der Vektortomographie

statt einer eindimensionalen Funktion werden hierbei jedoch die Projektionen eines Vektorfeldes in Richtung des Abtaststrahls betrachtet. Leider existiert für diese Integraltransformation noch keine exakte Inversionsformel.

Rekonstruktion des Vektorfelds (Sicht von vorne) Rekonstruktion des Vektorfelds (Sicht von der Seite) Der unter Zuhilfenahme des Rekonstruktionskernes für die 3D-Röntgentomographie entwickelte Algorithmus liefert jedoch bereits eine recht gute Näherung an das exakte dreidimensionale Feld, wie in den Abbildungen zu erkennen ist. Es handelt sich dabei um erste Rekonstruktionen aus synthetisch erzeugten Daten.

Da die Vektortomographie zu den jüngeren Themen im Bereich der Computertomographie zu rechnen ist, bleibt in diesem Bereich der wissenschaftlichen Forschung noch viel Spielraum für neue Entdeckungen und Entwicklungen.